L’UTILIZZAZIONE DEL CAD PER LA RISOLUZIONE ANALITICA DI ALCUNI PROBLEMI

1) PREMESSA

Sono ben noti i vantaggi del disegno assistito da computer nei confronti del disegno tradizionale su carta: possibilità di effettuare copie di tutto o parte del disegno, ingrandimenti, stampe, utilizzo di campiture e modelli preparati in precedenza ecc. ecc. C’è però un aspetto, meno noto ed appariscente, dato dalle modalità di archiviazione delle immagini vettoriali che consente, se nell’input vengono rispettate alcune regole, di ottenere dal computer risultati straordinari assolutamente impensabili nel caso di disegno classico. Con le modalità tradizionali di disegno la qualità dell’immagine è funzione di due elementi che sono la precisione con cui sono state tracciate sulla carta le figure ed in secondo luogo la scala scelta. Considerato che la tolleranza massima della grafia può essere stimata in un quarto di millimetro ed altrettanto quella per la sua lettura si può concludere che l’errore che comunemente è contenuto nel disegno tradizionale è, in valore assoluto, dell’ordine di mezzo millimetro il che significa che nella scala 1:10 l’imprecisione vale 5 mm mentre nella scala 1:10.000 vale 5 metri.
Nel disegno assistito da computer e limitatamente al sistema vettoriale, le cose sono totalmente diverse. Le immagini grafiche vengono stivate nella memoria del calcolatore a mezzo delle equazioni che ne definiscono nello spazio le figure elementari (rette, cerchi, punti, parallelepipedi, sfere ecc. ecc.) per cui ogni elemento è determinato in tutte le sue componenti con una precisione alla terza, sesta o decima cifra decimale a seconda del programma di disegno utilizzato. Si tratta comunque di una precisione notevolissima che assegna al disegno eseguito al CAD la caratteristica che va ben al di là dell’immagine visibile sul display o di quella stampata.
In pratica nel mentre una figura disegnata su carta è la rappresentazione approssimata di un determinato elemento per cui, qualora se ne voglia definire la dimensione esatta, bisogno riportarvi la quotatura precedentemente determinata col calcolo analitico, l’immagine CAD ha in sé tutti gli elementi esatti che definiscono, come già detto, l’immagine stessa e ciò per tutte le figure vettoriali e che siano state introdotte con la necessaria precisione.
Siamo quindi in presenza di due procedure totalmente diverse: nel disegno tradizionale occorre preventivamente definire tutti gli elementi analitici necessari, in quello eseguito al CAD è la stesura del disegno fatta utilizzando le istruzioni del programma di grafica che è in grado di fornire gli elementi analitici di cui si ha bisogno. Pertanto i programmi di disegno possono essere utilizzati anche per la esecuzione di calcoli sostituendosi validamente all’uso delle formule di trigonometria, di geometria analitica, di topografia ecc. ecc. rappresentando quindi una grande semplificazione dei calcoli medesimi.

 

2) L’INPUT DEI DATI

L’introduzione dei dati necessari per la costruzione dell’immagine visibile nel display può essere fatta in due modi ben distinti dai quali dipende la possibilità di utilizzazione finale dell’elaborato e non solo quella.Una prima possibilità consiste nel definire la posizione degli elementi col mouse, con la tavoletta grafica o con sistemi analoghi in maniera approssimata ma sufficiente soltanto per una visione a video o per una stampa dell’elaborato abbastanza esatta per i fini cui è destinato tale prodotto. E’ chiaro che in questo caso si tratta di un lavoro fine a sé stesso che non può essere utilizzato per altri scopi che non siano quelli citati. Alla base del lavoro c’è una contraddizione fondamentale: si è costituita una banca dati di equazioni che definiscono in maniera rigorosa degli elementi che sono di per sé approssimati.
Il secondo modo, da consigliare in ogni caso, è quello che prevede di ubicare tutti i punti in maniera assolutamente precisa utilizzando le molteplici procedure atte allo scopo: introduzione delle coordinate, dei raggi dei cerchi, degli angoli, delle lunghezze ecc. ecc. da tastiera, uso dello snap ai nodi preesistenti, dell’offset, della serie di dati, il richiamo di modelli precedentemente compilati con assoluta precisione (libreria di simboli), in altre parole l’uso delle metodologie che nei vari programmi e con diverse modalità consentono di assegnare a ciascuna figura l’ubicazione nello spazio rigorosamente esatta. Se tali condizioni sono soddisfatte in tutte le figure geometriche tracciate, nessuna esclusa, si è costituita nella memoria del computer un deposito di equazioni analitiche che definiscono esattamente la rappresentazione matematica in tutte le sue componenti e che pertanto è suscettibile di molteplici usi. Si può cioè affermare che un disegno avente le caratteristiche descritte è dotato di una risoluzione fisica infinitamente grande ed è quindi in grado di fornire la soluzione matematica di problemi geometrici complessi come sarà più avanti spiegato.
Da rilevare come la possibilità offerta da molti programmi CAD di poter definire all’interno dello stesso elaborato più sistemi di coordinate consente di introdurre con estrema facilità elementi grafici complessi. Ad esempio il disegno di un oggetto sulla facciata inclinata di una piramide diventa semplice una volta che si è creato un sistema di assi cartesiani giacente su un piano che coincide con la facciata in questione. Altre istruzioni che facilitano il lavoro sono le operazioni boleane (sottrazione o somma di figure piane e tridimensionali ecc. ecc.). Si tratta di risolvere in modo facile ed intuitivo di problemi la cui risoluzione mediante calcolo analitico è estremamente complessa.
Alcuni inconvenienti nascono soltanto nel caso le figure elementari da introdurre siano date da equazioni di grado superiore ad uno come ad esempio una iperbole o una qualsiasi curva quadratica in quanto i programmi di CAD non ne consentono l’input che tramite una serie di punti precalcolati a parte e tra i quali far correre una curva approssimata che sarà tanto più precisa quanto più fitti saranno i punti che la definiscono nello spazio, e che, pur non avendo la stessa risoluzione del resto del disegno, potrà comunque fornire risultati sufficientemente esatti se sarà stata tracciata con cura.
In definitiva la regola, assolutamente consigliabile, di usare sempre la maniera rigorosa nell’introduzione dei dati, oltre a rappresentare un valido aiuto in molte circostanze nella compilazione stessa dei grafici, porta alla costituzione di un archivio veramente valido di dati dal quale si può ritrarre una grande utilità sia nel corso del lavoro sia in epoca successiva potendo il grafico stesso essere in tutto o in parte riutilizzato nella compilazione di particolari ingranditi dell’opera in oggetto, per altri lavori analoghi o per scopi che, come quelli della definizione di elementi analitici , esulano dal disegno vero e proprio

 

3) IL DISEGNO DELLE FIGURE GEOMETRICHE

Nel disegno di tutte le figure geometriche nello spazio e quindi anche di quelle ricavate mediante elaborazione dei dati introdotti con le modalità indicate al capitolo precedente, bisogna seguire le modalità rigorose che consentono di conservare all’elaborato la precisione già indicata. Per fare alcuni esempi l’intersezione tra due rette sarà sempre fatta prolungando i segmenti esistenti e mai sovrapponendo nuove rette, le perpendicolari saranno rigorosamente a 90 gradi, le rette con origine su intersezioni, nodi, centri, tangenti ecc, ecc. saranno sempre definite con lo snap , il tracciato di curve di raccordo tra due rettifili sarà determinato con rigore ecc.ecc. Da notare come la risoluzione di molti problemi geometrici eseguiti con dette modalità e cioè basandosi sui segni grafici tracciati sul display sia molto più facile ed intuitiva di ogni altra ed inoltre come essa sia eseguibile anche da parte di personale che nulla sa di trigonometria o di geometria analitica mentre i risultati finali che se ne possono ottenere sono gli stessi che si otterrebbero applicando le regole di dette scienze.

 

4) LA LETTURA DEI RISULTATI

Ultimata la compilazione a video dell’elaborato grafico vettoriale seguendo rigorosamente le regole descritte ai capitoli precedenti, sarà possibile ricavare tutti gli elementi analitici di cui si ha bisogno,
Oltre alla lettura delle distanze e degli angoli dei lati componenti la figura e della sua area e perimetro, si potranno leggere le coordinate cartesiane dei vari punti sia riferite al sistema usato dall’inizio del lavoro sia in qualunque altro sistema ivi compreso quello in coordinate polari. Viene così risolto anche il problema della trasformazione di coordinate da un sistema ad un’altro.
Quanto sopra resta valido sia per il disegno bidimensionale tracciato sul piano sia per quello tridimensionale nello spazio. I risultati raggiungibili in quest’ultimo caso sono ancora più interessanti in quanto la semplificazione della procedura rispetto a quella analitica è ancora più notevole.

 

5) ESEMPI

Si descrivono alcuni esempio di calcoli relativi a figure piane al solo scopo di dare un’idea delle semplificazioni ottenibili. La metodologia diventa ancora più interessante se applicata a solidi in tre dimensioni.

Primo esempio (Tracciato di una curva circolare di raccordo tra rettifili)

Sia da tracciare sul terreno una curva di raccordo tra due rettifili aventi un angolo al vertice di 114.043 gradi centesimali essendo la tangente fissata in 77.500 m. La curva debba essere definita tramite 6 punti equidistanti lungo l’arco di cerchio di raccordo. Il metodo di tracciamento sia quello per ordinate alla corda. Disegnati i due rettifili si riportino ad una distanza di 75.5 m dal vertice i punti di tangenza. Il centro di curvatura sarà definito dal punto di incontro delle due perpendicolari innalzate da questi ultimi. Si traccerà quindi l’arco di cerchio il cui sviluppo sarà diviso in 6 parti uguali tracciando su di esso i 6 nodi tramite l’opportuna istruzione cad. Tracciata la corda (congiungente i due punti di tangenza), si abbassino su di essa le 6 perpendicolari dai punti da tracciare. Le ordinate e le ascisse di tracciato, sono riportate nella figura 1 allegata ed hanno precisione fino alla terza cifra decimale.
Il risultati analitici, alla terza cifra decimale, sono riportati nella fig. 1 allegata.

Secondo esempio (Risoluzione del problema di Potenot o calcolo dell’intersezione inversa)

Con stazione nel punto P si siano letti i due angoli APB e BPC delle direzione ai tre punti noti A B C.
Tracciata le due normali al punto mediano dei due segmenti AB e BC si riportino i due angoli letti tramite due coppie di segmenti comunque disposti purchè le due bisettrici degli angoli coincidano con le normali dette. Quindi si conducano le parallele ai due segmenti passanti per i punti A B e C. le triplette di punti A B e vertice dell’angolo ; B C e vertice dell’altro angolo definiscono due cerchi la cui intersezione, per la nota proprietà in base alla quale gli angoli alla circonferenza sono tutti uguali tra di loro, determina il punto P cercato.
Come si vede anche il calcolo dell’intersezione inversa che nella procedura analitica è abbastanza complessa, diventa una mera sequenza di intuitive operazioni grafiche da eseguire al computer.
Il risultati analitici, alla terza cifra decimale, sono riportati nella fig. 2 allegata.

 

6) CONCLUSIONI

Si sono descritte alcune caratteristiche del disegno assistito da computer che, differenziandosi notevolmente dal disegno tradizionale, ne consentono l’utilizzazione anche a fini diversi da quelli usuali. Si tratta della determinazione di elementi analitici di una figura piana o di un solido nello spazio elementi che, prima dell’avvento della tecnologia CAD, potevano essere definiti soltanto con il calcolo a tavolino eseguito secondo le regole e le formule della varie scienze. Resa evidente questa notevole possibilità del disegno assistito da computer si sono indicate le modalità da seguire nonché gli inconvenienti da evitare perché ogni lavoro grafico vettoriale eseguito al computer, contenga una vera banca dati analitica degli oggetti disegnati i cui elementi sono facilmente determinabili e leggibili potendo sostituirsi validamente a quelli definiti con calcolo analitico.